بررسی مفهوم «بینهایت ناشمارا» در کتاب شفا
قضیه کانتور یا ابن سینا؟ / سعید اکرامی
به گزارش مبلغ– آثار ابن سینا به عنوان یکی از بزرگترین دانشمندانی که در مجموع نوشته های وی به علم و فلسفه به طور متناسب پرداخته شده است هنوز دارای مطالبی است که می تواند شروع خوبی برای بازسازی رابطه علم و فلسفه در عصر جدید باشد. سعید اکرامی پژوهشگر فلسفه فیزیک، در یادداشت زیر به ردیابی قضیه مهم و جریان‌ساز کانتور که در ریاضیات جدید مطرح شده، در کتاب شفای ابن سینا پرداخته است.
جرج کانتور (Georg cantor) ریاضیدان آلمانی در پاسخ به پرسش چگونگی مقایسه ی تعداد اعضای مجموعه‌های نامتناهی در مقاله هایش قضیه ای را مطرح کرد؛ اندازه‌ی یک مجموعه‌ی دلخواه، کمتر است از اندازه‌ی مجموعه‌ی تمام زیرمجموعه های آن مجموعه!
نتیجه‌ی این قضیه آنست که اندازه‌ی (تعداد اعضای) دو مجموعه‌ی نامتناهی ممکن است باهم برابر نباشند و صرف نامتناهی بودن آن دو مجموعه به معنای برابری اندازه و تعداد آنها نیست. ممکن است نتوانید بین اعضای آن دو مجموعه تناظر یک به یک برقرار کنید.
جناب ابن سینا شبیه همین بحث را البته با درنظر گرفتن «معدود» و نه «عدد» و باتوجه به «اندازه»ی معدودها و در نتیجه امکان عدم برقراری تناظر یک به یک بین اعضای دو مجموعه‌ی نامتناهی مطرح می‌کند. او مسأله ای را در فصل سوم از مقاله سوم طبیعیات شفا ( ص۱۸۴) بدین شکل تبیین می‌کند:
اگر جسم قابل تقسیم به تعداد اجزای نامتناهی باشد، آنگاه تعداد اجزای یک دانه خردل با تعداد اجزای یک کوه(زمین) برابر خواهد بود.
پاسخ این مسأله در فصل پنجم همان مقاله (ص۱۹۸) بدین شکل داده می شود:
اگر تعداد اجزای تقسیم شده ی یک دانه خردل با تعداد اجزای تقسیم شده ی یک کوه باهم برابر باشند، الزاماً اینگونه نیست که اندازه‌ی تک تک اجزای دانه خردل با اندازه‌ی تک تک اجزای کوه هم باهم برابر باشند. یعنی دو جسم دارای اجزای نامتناهی الزاماً دارای اندازه‌های برابر نیستند.
به زبان ریاضیاتی امروزی اگر تعداد اعضای دو مجموعه نامتناهی باشد، آنگاه الزاماً «عدد اصلی»(اندازه) این دو مجموعه باهم برابر نیست. برای مثال تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی، نامتناهی است. اما اندازه‌ی برابری ندارند و اولی زیرمجموعه ی دومی است.
منبع: کانال شخصی سعید اکرامی